Actividad 1: Conceptos de teoría de conjuntos en video

CONCEPTOS DE TEORIA DE CONJUNTOS

Es decir, la teoría de conjuntos es un área de estudio enfocada en los conjuntos. Por tanto, se encarga de analizar tanto los atributos que poseen, como las relaciones que pueden establecerse entre ellos. Es decir, su unión, intersección, complemento u otro.

Debemos recordar que un conjunto es una agrupación de elementos, ya sean números, letras, palabras, funciones, símbolos, figuras geométricas u otros.

Para determinar un conjunto se suele definir la característica que tienen en común sus elementos. Por ejemplo, un conjunto A con los números enteros, positivos y pares menores a 20.

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Historia de la teoría de conjuntos

La historia de la teoría de conjuntos puede remontarse al trabajo de Georg Cantor, matemático alemán de origen ruso, quien es considerado el padre de dicha disciplina.

Entre los temas que estudió Cantor destaca, por ejemplo, el de los conjuntos infinitos y los conjuntos numéricos.

El primer trabajo de Cantor sobre la teoría de conjuntos data de 1874. Además, cabe mencionar que mantuvo un frecuente intercambio de ideas con el matemático Richard Dedekind, quien contribuyó al estudio de los números naturales.

Los conjuntos pueden estar definidos de dos maneras:

1. Extensión o enumeración: se nombran todos los elementos que forman el conjunto.
2. Comprensión o propiedad: se nombra un enunciado que permita afirmar si cualquier elemento pertenece o no al conjunto.

Ejemplo: dado el conjunto N = {días de la semana}.

Si lo definimos por extensión seria:

N = {lunes, martes, miércoles, jueves, sábado, domingo}

Ahora vamos a definir el conjunto por compresión, quedaría de la siguiente manera:

N = {x|x es día de la semana}

Este conjunto se lee: el conjunto N está formado por los elementos x, tal que x es día de la semana.

Para designar un conjunto utilizamos las letras en mayúscula (N, S, P, T, etc.) y cada elemento lo designamos con las letras minúsculas, su representación gráfica se realiza a través de un diagrama de Venn.

Ejemplo:

Pertenecía en la teoría de conjuntos

Cuando decimos que un elemento está dentro de un conjunto nos referimos que dicho elemento pertenece al conjunto, para indicar que pertenece se utiliza el símbolo ∈. Ahora cuando un elemento no está dentro del conjunto nos referimos a que el elemento no pertenece al conjunto y para indicarlo utilizamos ∉.

Ejemplo:

¿Qué es un conjunto infinito?

Los conjuntos infinitos son todos aquellos conjuntos donde es imposible nombrar su ultimo elemento, puesto que siempre se puede nombrar uno más, por ejemplo:

ℕ = {Números naturales}
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Para indicar que son conjuntos infinitos se cierra la llave después de puntos suspensivos (…) y así señalar que no hay último elemento.

¿Qué es un conjunto finito?

Los conjuntos finitos son todos aquellos conjuntos donde es posible enumerar o nombrar todos sus elementos, si dicho conjunto es un poco extenso se escriben los primeros elementos y luego de puntos suspensivos (…) se coloca el ultimo elemento del conjunto, ejemplo:

B = {los meses del año}
B = {enero, febrero, marzo, …, diciembre}

¿Qué es un conjunto notable?

En la teoría de conjuntos existes 3 tipos de conjuntos notables y son llamados conjuntos vacíos, unitario y universal.

Conjunto vacío

Como su nombre bien lo dice “vacío”, es aquel conjunto que no posee ningún elemento y se denota con el símbolo ø.

Ejemplo:

T = {x|x es un estudiante de la universidad con 3 años de edad}
T = ø

El conjunto T es un conjunto vacío por que en la universidad no se encuentran estudiantes con 3 años de edad.

Conjunto unitario

Es aquel que posee un solo elemento

Ejemplo:

A = {x|x es satélite natural de la tierra}
A = {x = luna}

Conjunto Universal

Es el conjunto formado por todos los elementos de un tema de referencia, se simboliza con la letra U y se representan a través de un rectángulo, ejemplo:

Tomemos como el conjunto universo el conjunto de todos los animales.

U = {x|x es un animal}
A = {x|x es un perro}

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son las distintas agrupaciones en las que se clasifican los números en función de sus distintas características. Se trata de una construcción abstracta que tiene una importante aplicación en las matemáticas.

Los conjuntos numéricos son los complejos, imaginarios, reales, irracionales, racionales, enteros y naturales, y pueden ilustrarse en el siguiente diagrama de Venn: